Как вычислить площадь треугольника — формулы и примеры

Самый простой способ – умножить основание на высоту и разделить на два:

S = (a × h) / 2. Здесь a – основание, h – высота.

Если известны три стороны, используйте формулу Герона:

S = √(p × (p — a) × (p — b) × (p — c)), где p – полупериметр, p = (a + b + c) / 2.

Когда известны две стороны и угол между ними, подойдет тригонометрическая формула:

S = (1/2) × a × b × sin(γ), где γ – угол между сторонами a и b.

Если известны координаты вершин (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃), используйте формулу:

S = 0.5 × |x₁(y₂ — y₃) + x₂(y₃ — y₁) + x₃(y₁ — y₂)|.

Для быстрого расчета воспользуйтесь онлайн-калькулятором, но понимание формул позволит решать задачи без него.

Как вычислить площадь треугольника: формулы и примеры

Площадь треугольника можно вычислить разными способами, в зависимости от известных данных. Рассмотрим основные формулы и приведём примеры их применения.

1. Формула через основание и высоту

Если известны длина основания

aa

a и высота

hh

h, опущенная на это основание, то площадь рассчитывается по формуле:

S=12ahS = \frac{1}{2} a h

S=21​ah

Пример:
Пусть основание треугольника

a=10a = 10

a=10 см, а высота

h=5h = 5

h=5 см.

Тогда:

S=12×10×5=25 см2S = \frac{1}{2} \times 10 \times 5 = 25 \text{ см}^2

S=21​×10×5=25 см2

2. Формула Герона (по трём сторонам)

Если известны все три стороны

a,b,ca, b, c

a,b,c, площадь можно вычислить по формуле Герона:

S=p(p−a)(p−b)(p−c)S = \sqrt{p (p — a)(p — b)(p — c)}

S=p(p−a)(p−b)(p−c)​

где

pp

p – полупериметр:

p=a+b+c2p = \frac{a + b + c}{2}

p=2a+b+c

​Пример:
Даны стороны треугольника:

a=7a = 7

a=7,

b=8b = 8

b=8,

c=9c = 9

c=9.
Сначала вычисляем полупериметр:

p=7+8+92=12p = \frac{7 + 8 + 9}{2} = 12

p=27+8+9​=12Теперь подставляем в формулу:

S=12(12−7)(12−8)(12−9)=12×5×4×3=720≈26.83S = \sqrt{12 (12 — 7)(12 — 8)(12 — 9)} = \sqrt{12 \times 5 \times 4 \times 3} = \sqrt{720} \approx 26.83

S=12(12−7)(12−8)(12−9)​=12×5×4×3​=720​≈26.83

3. Формула через синус угла

Если известны две стороны и угол между ними, площадь рассчитывается как:

S=12absin⁡CS = \frac{1}{2} a b \sin C

S=21​absinC

Пример:
Пусть

a=6a = 6

a=6 см,

b=9b = 9

b=9 см, угол

C=30∘C = 30^\circ

C=30∘. Тогда:

S=12×6×9×sin⁡30∘S = \frac{1}{2} \times 6 \times 9 \times \sin 30^\circ

S=21​×6×9×sin30∘

Так как

sin⁡30∘=0.5\sin 30^\circ = 0.5

sin30∘=0.5, получаем:

В зависимости от известных данных можно использовать разные формулы. Формула Герона удобна, когда известны три стороны, а если известна высота или угол, то проще применять соответствующие формулы.